text5《科学与⽅法》 #
基础信息 #
作者：彭加勒 阶段：section 3
正文 #
第⼀章. 事实的选择 #
托尔斯泰（Tolstoi）在某处说明，“为科学⽽科学”在他看来为什么是荒谬绝伦的概 念。由于事实的数⽬实际上是⽆限的，我们不能了解所有事实。选择是必要的。于是， 我们可以让这种选择取决于我们好奇⼼的纯粹任性；让我们⾃⼰受功利的指导，即受我 们实际的需要、尤其是道德的需要的指导岂不更好；与数我们⾏星上的瓢⾍数⽬相⽐， 我们难道没有更好的事去做？ 很清楚，对托尔斯泰来说，功利⼀词并不具有事务⼈给予它的意义，⽽我们当代⼈申的 ⼤多数却信奉他们。对于⼯业应⽤，对于电或汽⻋的奇迹，他不仅不关⼼，⽽且甚⾄视 其为道德进步的障碍；在他看来，功利只不过是能够使⼈变得更完善的东西⽽已。 依我之⻅，⽆论对这⼀理想还是那⼀理想，不⽤说都不会使我满意；我既不需要贪婪⽽ ⾃私的富豪统治， 也不需要伪善⽽平庸的⺠主，这种⺠主只不过是忙于改头换⾯⽽已。 假如在那⾥居住着智者，这些智者毫⽆好奇⼼，避免⼀切过度⾏为，那么他们不会死于 疾病，⽽确实将死于⽆聊。但是，这是各⼈的好恶，不是我希望讨论的问题。 问题依然没有解决，还会引起我们的注意。如果我们的选择仅仅取决于任性或直接的功 利，那么就不会有 “为科学⽽科学”，其结果甚⾄⽆科学可⾔。但是，那是真的吗？⽆ 可否认，有必要作选择；不管我们的能动性如何，事实跑得⽐我们快，我们不能够捉住 它们；当科学家发现⼀种事实时，在他⾝体⼀⽴⽅毫⽶内已经发⽣了数以亿亿计的事 实。希望把⾃然包容于科学之内，不啻企图把整体放⼊局部之中。 但是，科学家相信，事实有等级可寻，在它们之中可做出明智的选择。他们是对的，因 为要不然便不会有科学，⽽科学却存在着。⼈们只要睁眼看看，⼯业成就虽然为许多实 际家促进，但是假若只有这些实际家，⽽没有下述⼀些⼈在前⾯做出的⽆私贡献，那么 ⼯业成就将会暗淡⽆光：这些⼈贫困潦倒，从未想到功利，⽽且具有与任性决然不同的 指导原则。 正如⻢赫（Mach）所说，这些贡献使他们的后继者省却了思考的烦扰。仅仅着眼于直 接应⽤的那些⼈， 他们不会给后世留下任何东西，当⾯临新的需要时，⼀切都必须重新 开始。现在，⼤多数⼈都不爱思考，当本能指导他们时这也许是侥幸的，最通常的情况 是，当他们追求即时的、永远相同的⽬的时，本能指导他们⽐理性指导纯粹的智⼒更为 得宜。但是，本能是惯例，如果思想不使之丰富，⼈类便不会⽐蜂蚁有更多的进步。于 是，对于那些不爱思考的⼈来说，有必要去思考，并且因为这些⼈为数众多，所以必须 使我们每⼀种思想尽可能经常有⽤，这就是为什么定律愈普遍，它也将愈珍贵。 这向我们表明，我们应当如何选择：最有趣的事实就是可以多次运⽤的事实；这些是具 有⼀再复现的机会的事实。我们幸好出⽣在存在这样的事实的世界中。假定不是 60 种 元素，⽽是 600 亿种，它们没有多少共同之处，另⼀些是稀有的，但均匀地分布着。那 么，每当我们捡起⼀块新卵⽯时，它都⼗分可能由某种未知的物质构成；我们所知道的 其他卵⽯的情况对它毫⽆⽤处；在每⼀个新对象⾯前，我们会像新⽣⼉⼀样；照此办 理，我们只能服从我们的任性或我们的需要。如果只有个体⽽⽆种族，如果遗传不能使 ⼦孙与他们的祖先相似，那么⽣物学家同样会茫然⽆措。
于是，哪些事实是很可能复现的事实呢？它们⾸先是简单的事实。很清楚，在复杂的事 实中，⼀千个条件通过机遇结合在⼀起，更何况只有⼀个可能的机遇能把它们重新结合 起来。但是，有简单的事实吗？如果有， 如何认识它们呢？我们有什么把握确信，我们 设想是简单事物没有隐藏惊⼈的复杂性呢？我们所能说的⼀切就是，我们应该偏爱似乎 是简单的事实，⽽不选择那些我们⾁眼辨认出不相似要素的事实。于是，只能是⼆者择 ⼀：或者这种简单性是真实的，或者要素密切地混合起来，以⾄于⽆法区分。在第⼀种 情况下，存在我们重新遇到这个同⼀简单事实的机遇，⽆论它在整体上是纯粹的，还是 它本⾝作为要素进⼊复杂的复合体中。在第⼆种情况下，这种密切的混合同样⽐异质的 集合复现的机遇更多；机遇知道如何混合，⽽不知道如何分解，不知道如何⽤许多要素 建造秩序井然的⼤厦，在这个⼤厦内，某些事物可以区分，但必须特意做成。因此，看 来仿佛是简单的事实―即使它们并⾮如此将更容易被机遇恢复。 正是这⼀点可以为科学家本能地采取的⽅法辩护，进⼀步为它辩护的也许是，经常复现 的事实对我们来说似乎是简单的，恰恰因为我们经常⽤到它们。 但是，简单的事实在哪⾥呢？科学家在两种极端情形下寻求它，其⼀是⽆穷⼤，其⼆是 ⽆穷⼩。天⽂学家找到了它，因为星球之间的距离极其遥远，远到它们中的每⼀个都看 来好像是⼀个点，远到质的差别可以忽略不计，由于⼀个点⽐⼀个具有形状和质地的物 体简单。另⼀⽅⾯，物理学家找到了基元现象，他们想像把物体分割为⽆限⼩的⽴⽅ 体，因为问题的条件在从物体的⼀点到另⼀点时经受了缓慢⽽连续的变化，在这些⼩⽴ ⽅体的每⼀个间隔内，条件可以认为是恒定的。⽤同样的⽅式，⽣物学家本能地被诱使 认为细胞⽐整个动物更为有趣，结果证明他是明智的，由于对于能够认出细胞相似性的 ⼈来说，属于各种各样的有机体的细胞⽐有机体本⾝更相像。⽽社会学家却⼤为困惑； 对他来说，要素是⼈，这太不相似了，太变幻莫测了，太反复⽆常了， ⼀⾔以蔽之，太 复杂了；此外，历史从来也不会重演。那么，如何选择有趣的、可以重演的事实呢？⽅ 法恰恰在于事实的选择；于是，⾸先需要着⼿创造⽅法，并且已想像出许多，由于没有 ⼀个⽅法会硬充⽅法，于是社会学是⽅法最多⽽结果最少的科学。 因此，以规则的事实开始是合适的；但是，当规则牢固建⽴之后，当它变得毫⽆疑问之 后，与它完全⼀致的事实不久以后就没有意义了，由于它们不能再告诉我们任何新东 西。于是，正是例外变得重要起来。我们不去寻求相似；我们尤其要全⼒找出差别，在 差别中我们⾸先应选择最受强调的东西，这不仅因为它们最为引⼈注⽬，⽽且因为它们 最富有启发性。⼀个简单的例⼦将使我的思想更加清楚：设⼀个⼈想通过观察曲线的若 ⼲点来确定曲线。只使⾃⼰关⼼眼前功利的实际家，将仅仅观察那些他为某些特⽬标⽽
需要的点。这些点不适当地分布在曲线上；它们在某些区域上密集，在另⼀些区域上稀 疏，以致不可能⽤⼀条连续的线将它们连结起来，⽽且对于其他应⽤⽽⾔，它们是⽆⽤ 的。科学家将以不同的⽅式着⼿进⾏；当他希望为曲线本⾝⽽研究曲线时，他将使所观 察的点规则地分布；当⾜够的点已知时，他将⽤⼀条规则的线连结它们，他就会得到完 整的曲线。可是，为此他如何进⾏呢？如果他决定了曲线的端点，他没有停在这⼀端附 近，⽽⾸先返回另⼀端；在这两个端点确定后，最有指导意义的点将处于中点，依此类 推下去。
法则⼀经确⽴，我们⾸先就要寻找这个法则具有最⼤失效机遇的情况。在其他理由当 中，对天⽂事实的兴趣和对地质经历的兴趣由此⽽来；当达到⼗分遥远的空间或⼗分久 ⻓的时间时，我们可能发现，我们有⽤的法则完全被推翻了，这些重⼤的失效有助于我 们更好地观察、更好地理解可能发⽣在距我们较近之处，即发⽣在我们被召集⽣活和⾏ 动的世界的⼩⻆落中的微⼩变化。由于我们到与我们毫⽆关系的遥远国家去旅⾏，我们 将更清楚地了解这个⻆落。 但是，我们应该达到的⽬的主要不在于弄清相似和差异，⽽是要认出隐藏在表观偏离下 的类似性。特殊的法则乍看起来似乎是不⼀致的，然⽽通过较为仔细的观察，我们看到 它们⼤体上相互类似；就实质⽽⾔，它们是不同的，但是就形式⽽⾔，就它们各部分的 秩序⽽⾔，它们是相似的。当我们以这种倾向性观察它们时，我们将看到它们扩⼤并且 有助于包容每⼀事物。这便造成了某些归结为完备的集合物的事实的价值，并且表明它 是其他已知集合物的正确图像。 我将不再进⼀步坚持，但是这⼏句话已⾜以表明，科学家并⾮随意选择他所观察的事 实。诚如托尔斯泰所⾔，科学家并没有去数瓢⾍的数⽬，因为瓢⾍⽆论可能多么有趣， 其数⽬也是任意可变的问题。科学家⼒图把许多经验和许多思想浓缩在⼀个⼩容积内； 这就是为什么⼀本物理学的⼩册⼦包含着如此之多的以往的经验， 以及他预先已知其结 果的多达千倍的可能的经验。 然⽽，我们迄今还只是看到问题的⼀个⽅⾯。科学家研究⾃然，并⾮因为它有⽤处；他 研究它，是因为他喜欢它，他之所以喜欢它，是因为它是美的。如果⾃然不美，它就不 值得了解；如果⾃然不值得了解，⽣命也就不值得活着。当然，我在这⾥所说的美，不 是打动感官的美，也不是质地美和外观美；并⾮我⼩看这样的美，完全不是，⽽是它与 科学⽆关；我意指那种⽐较深奥的美，这种美来⾃各部分的和谐秩序，并且纯粹的理智 能够把握它。正是这种美给予物体，也可以说给予结构以让我们感官满意的彩虹般的外 观，⽽没有这种⽀持，这些倏忽即逝的梦幻之美只能是不完美的，因为它是模糊的，总 是短暂的。相反地，理智美可以充分达到其⾃⾝，科学家之所以投⾝于⻓期⽽艰巨的劳 动，也许为理智美甚于为⼈类未来的福利。
因此，正是对这种特殊美，即对宇宙和谐的意义的追求，才使我们选择那些最适合于为 这种和谐起⼀份作⽤的事实，正如艺术家从他的模特⼉的特征中选择那些能使图画完美 并赋予它以个性和⽣⽓的事实。我们⽆须担⼼，这种本能的和未公开承认的偏⻅将使科 学家偏离对真理的追求。⼈们可以梦想⼀个和谐的世界，但是真实的世界把它丢弃得何 其之远！永远活在⼈们⼼⽬中的最伟⼤的艺术家希腊⼈创造了他们的天空；它与我们的 真实的天空相⽐，是多么蹩脚啊！ 正因为简单是美的，正因为宏伟是美的，所以我们宁可寻求简单的事实、崇⾼的事实； 我们时⽽乐于追寻星球的雄伟路线；我们时⽽乐于⽤显微镜观察极其微⼩的东西，这也 是⼀种宏伟；我们乐于在地质时代寻找过去的遗迹，它之所以吸引⼈，是因它年代久 远。 我们还看到，像对于有⽤的渴望⼀样，对于美的渴望也导致我们作相同的选择。因此， 按照⻢赫的看法， 这种思维之经济、劳⼒之经济是科学的永恒趋势，同时也是美的源泉 和实际利益的源泉。我们所赞美的⼤厦是建筑师知道如何使⼿段与⽬的相称的⼤厦，在 这样的⼤厦中，⽀柱似乎轻松地承载着加于其上的重量⽽毫⽆吃⼒之感，像厄瑞克忒翁 庙的雅致的⼥像柱⼀样。 这种协调从何⽽来呢？在我们看来好像美的事物是其本⾝最适合于我们理智的事物，因 此它们同时是这种理智最了解如何使⽤的⼯具，事情只不过是如此吗？或者，在这⾥存 在着进化和⾃然选择的游戏吗？最能使他们的理想与他们的最⾼利益⼀致的⺠族消灭了 其他⺠族并取⽽代之了吗？所有⼈都追求他们的理想，没有考虑后果，⽽这种探求劫导 致⼀些⼈毁灭，另⼀些⼈称帝。⼈们被诱使相信它。假如希腊⼈征服了野蛮⼈，假如希 腊思想的继承者欧洲⼈统治了世界，那是因为未开化的⼈爱好刺眼的颜⾊和聒耳的⿎ 声，这只能充塞他们的感官，⽽希腊⼈则爱好潜藏在感性美之下的理智美，正是这种理 智美使理智变得可靠、有⼒。
毫⽆疑问，这样的凯旋会使托尔斯泰惊恐，他不乐意承认它确实是有⽤的。但是，这种 ⽆私利的为真理本⾝的美⽽追求真理也是合情合理的，并且能使⼈变得更完善。我清楚 地知道，这⾥存在着错误，思想者并⾮总是由此引出他能够在其中发现的宁静，甚⾄在 这⾥也有品质恶劣的科学家。 因此，我们难道必须抛弃科学⽽仅仅研究道德吗？什么！当道德家从他们的受⼈尊敬的 地位跌落下去的时候，你认为他们本⾝是⽆可指责的吗？
第三章. 数学创造 #
数学创造的发⽣是⼀个应使⼼理学家强烈感兴趣的问题。它是⼀种活动，在这种活动 中，⼈类⼼智似乎从外部世界取⾛的东西最少，在这种活动中，⼈类⼼智起着作⽤，或 者似乎只是⾃⾏起作⽤和凭靠⾃⼰起作⽤， 以致在研究⼏何学思维的步骤时，我们可以 期望达到⼈类⼼智的最本质的东西。 ⻓期以来，⼈们已经懂得这⼀点，若⼲时间之前，由莱桑 （Laisant） 和费尔（Fehr） 编辑的《数学教学》 杂志开始调查不同数学家的思想习惯和⼯作⽅法。当那项调查的结 果发表时，我已写完了我的这篇⽂章的主要轮廓，因此我不可能利⽤它们，我只想说 明，⼤多数证据确认了我的结论；我没有说全部证据，因为当诉诸全体投票时，不可能 希望会取得⼀致同意。 最初的事实应使我们感到惊奇，或者更确切地讲，如果我们还不这样习惯它，它就会使 我们感到惊奇。有⼈不理解数学，这是怎么发⽣的呢？既然数学只求助于诸如所有正常 ⼼智都能接受的逻辑规则，既然数学的证据建⽴在对⼀切⼈都是共同的原理的基础上， 既然没有⼀个不发疯的⼈会否认这⼀点，那么在这⾥为何出现如此之多执拗的⼈呢？
并⾮每⼀个⼈都能够发明，这绝不是难以理解的。并⾮每⼀个⼈都能够记住⼀次学到的 证明，这也可以略⽽不提。但是，当把数学推理加以说明之后，并⾮每⼀个⼈都能够理 解它，我们想想这件事，似乎是⼗分奇怪的。可是，⼤多数⼈只能够相当吃⼒地仿效这 ⼀推理：这是不可否认的，中学教员的经验确实不能否定这⼀点。 进⽽要问：在数学中为何也可能出错？健全的⼼智不应当犯逻辑谬误之罪，可是有⼀些 ⼗分敏锐的⼼智， 他们在诸如发⽣在⽇常的⽣活活动中的简短推理⽅⾯未犯错误，但是 却不能毫⽆错误地仿效或重复数学证明， 这些证明虽则较⻓，但毕竟只是完全类似于他 们容易做出的简短推理的堆积。我们还需要补充说数学家本⼈也不是⼀贯正确的⼈吗？ 答案对我来说是显⽽易⻅的。设想⼀个⻓系列的三段论，第⼀个的结论是下⼀个结论的 前提：我们将能够理解这些三段论的每⼀个，在从前提向结论的过渡中，我们没有处于 受骗的危险之中。但是，我们在某⼀时刻遇到⼀个命题作为⼀个三段论的结论，在过去 ⼀些时间后，我们⼜偶然地重新遇到它却作为另⼀个三段论的前提，在这两个时刻之 间，这个链条的⼏个环节将展现出来；这样⼀来，可能会发⽣下述情况：我们忘掉了这 个命题，或者还要糟糕，我们忘掉了它的意义。因此，可能碰巧，我们可以⽤⼀个稍微 不同的命题代替它，或者在保持同⼀阐述时，我们都赋予它以稍微不同的意义，我们⾯ 临的错误就是由此⽽来。 数学家常常使⽤法则。他当然以证明这个法则开始；当这个证明在他的记忆中还很鲜明 之时，他完全理解它的意义和它的关系，他没有陷⼊改变它的危险中。可是后来，他相 信他的记忆，并进⽽仅仅以机械的⽅式应⽤它；不过，如果他的记忆使他失望，他就会 统统把它⽤错。举⼀个简单的例⼦，这就像我们之所以有时在运算中出差错，是因为我 们忘记了我们的乘法表。 照此看来，数学的特殊才能也许仅仅是由于⼗分可靠的记忆或惊⼈的注意⼒。它是⼀种 类似于玩惠斯特牌的⼈的能⼒，玩牌⼈记着所玩的牌；或者再进⼀步，它类似于棋⼿的 能⼒，棋⼿能够想像数众多的组合，并把它们记在⼼⾥。每⼀个⾼明的数学家都应该是 ⾼明的棋⼿，反过来也是这样；同样地，他也应该是⼀位⾼明的计算家。不⽤说，这有 时会出现；例如，⾼斯（Gauss）同时是天才的⼏何学家和⼗分早慧的、精确的计算 家。 但是也有例外；或者确切地讲，我弄错了；在例外不多于常规的情况下，我不能把它们 叫做例外。相反地，正是⾼斯，才是⼀个例外。⾄于我⾃⼰，我必须承认，即使让我做
加法，我也绝对不可能不出错。按同样的⽅式，我⽆⾮是⼀位蹩脚的棋⼿；我察觉到， 采⽤某种⾛法，我会陷于某种危险；我逐⼀审查了⼏种其他⾛法，因另外的理由放弃了 它们，⽽最后我⾛了第⼀次考察的步⼦，其间我忘记了我曾经预⻅到的危险。 换句话说，我的记性不是不好，但它不⾜以使我成为⼀位⾼明的棋⼿。在⼀段困难的数 学推理中，最⾼明的棋⼿也会晕头转向，可是我为什么不会失败呢？显然，这是因为⼀ 般的推理步骤引导着我。数学证明不是三段论的简单并列，它是按某种秩序安置三段 论，这些要素安置的顺序⽐要素本⾝更为重要。如果我具有这种秩序的感觉，也可以说 这种秩序的直觉，以便⼀眼就觉察到作为⼀个整体的推理，那么我已⽆须再害怕我忘记 这些要素之⼀，因为它们之中的每⼀个都在排列中得到它的指定位置，⽽且不要我本⼈ 费⼒记忆。 于是，在我看来，在重复已学到⼿的推理时，好像我能够发明它。这往往只是⼀种错 觉；但是，即便如此，即便我本⼈没有创造它的天赋，就我重复它⽽⾔，我本⼈也是重 新发明它。 我们知道，对数学秩序的这种感觉、这种直觉，使我们推测隐藏的和谐与关系，但它并 不是每⼀个⼈都具有的。有些⼈或者没有这种如此难以定义的微妙的感觉，或者没有超 常的记忆⼒和注意⼒，因此他们将绝对不可能理解较⾼级的数学。这种⼈是多数。另⼀ 些⼈仅略有这种感觉，但是他们具有⾮同寻常的记忆⼒和⾼度的注意⼒这样的天赋。他 们将⼀个接⼀个地记住各种细节；他们能够理解数学，有时也能应⽤，但是他们不能创 造。最后，还有⼀些⼈或多或少地具有所提到的特殊的直觉，因此，即使他们的记忆⼒ 毫⽆⾮同寻常之处，他们却不仅能够理解数学，⽽且可以成为创造者，并试图做出发 明，其成功之⼤⼩取决于这种直觉在他们⾝上发展的程度之⼤⼩。
数学创造实际上是什么呢？它并不在于⽤已知的数学实体做出新的组合。任何⼀个⼈都 会做这种组合，但这样做出的组合在数⽬上是⽆限的，它们中的⼤多数完全没有兴趣。 创造恰恰在于不做⽆⽤的组合，⽽做有⽤的、为数极少的组合。发明就是辨别、选择。 我以前已说明过如何进⾏这种选择；值得加以研究的数学事实是这样⼀些事实，通过它 们与其他事实的类⽐，能够导致我们了解数学定律，正像实验事实导致我们了解物理学 定律⼀样。它们是向我们揭⽰其他事实之间意料之外的关系的事实，我们虽然早就知道 其他事实，但错误地认为它们彼此之间是陌⽣⼈。 在所选择出来的组合中，最富有成果的组合常常是从相距很远的领域取出的要素形成的 组合。我的意思并不是说，把尽可能相异的对象汇集到⼀起就⾜以做出发明；这样形成 的⼤多数组合都毫⽆成效。但是，它们之中的某些极稀有的组合却是最富有成果的。 我说过，发明就是选择；但是，这个词也许不完全精密。它使⼈想起采购员，在他⾯前 陈放着⼤量的货样，他逐个审视它们，以便做出选择。这⾥的货样多得不可胜数，他的 整个⼀⽣也不⾜以把它们审查完。事情的实际状况并不是这样。⽆成效的组合甚⾄不出 现在发明家的⼼智中。除了他抛弃的⼀些组合尽管它们也在某种程度上具有有⽤组 合的特征―之外，在他有意识做出的组合的范围内，仿佛实际上从来也没有⽆⽤的东 西。这⼀切就好像发明家是⼀位复试主考⼈那样进⾏，他只询问已经通过初试的候选 ⼈。
不过，我迄今所说的都是在读⼏何学家的著作时可以观察到或可以猜测到的东西，当然 要动脑筋读。 现在，⽐较深刻地洞察⼀下，看看在数学家的⼼灵本⾝中发⽣着什么。关于这⼀点，我 相信，回忆⼀下我⾃⼰的⼼灵是最好不过的了。但是，我将只限于讲述我是如何写出我 的第⼀篇关于富克斯（Fuchs）函数的论⽂的。我请来读者原谅；我正准备使⽤⼀些专 ⻔的表述，但是读者不要害怕它们，因为没有⼈强迫他理解它们。例如，我将说，我是 在这样的情况下找到了这样⼀个定理的证明的。这个定理将有⼀个不规范的名字，许多 ⼈都不知道它，不过这并不重要；⼼理学家感兴趣的不是这个定理，⽽是发明这个定理 的情况。 我曾⽤了 15 天时间⼒图证明，不可能存在任何类似于我后来称之为富克斯函数的函数。 我当时⼀⽆所知；我每天独⾃⼀⼈坐在我的办公桌前，待⼀两个⼩时，尝试了⼤量的组 合，什么结果也没有得到。⼀天夜晚，我违反了我的习惯，饮⽤了⿊咖啡，久久不能⼊ 睡。各种想法纷⾄沓来；我感到它们相互冲突，直到成对地联结起来，也就是说，造成 了稳定的组合。到第⼆天早晨，我已确⽴了⼀类富克斯函数的存在，它们来源于超⼏何 级数；我只是必须写出结果，仅花费了⼏个⼩时。 接着，我想⽤两个级数之商把这些函数表⽰出来；这种想法完全是有意识的和深思熟虑 的，与椭圆函数的类⽐指导着我。我问我⾃⼰，如果这些级数存在，它们必须具有什么 性质，我毫⽆困难地获得了成功，形成了我所谓的西塔（θ）富克斯函数。 恰恰在这时，我离开了我当时居住的卡昂，参加了矿业学校主办的地质考察旅⾏。沿途 的景致使我忘都了我的数学⼯作。到达库唐塞后，我登上公共⻢⻋去某个地⽅。当我的 脚踩上踏板的⼀刹那，⼀种想法涌上我的⼼头，即我通常定义富克斯函数的变换等价于 ⾮欧⼏何学的变换，在我先前的思想中，似乎没有任何东西为它铺平道路。我没有证实 这⼀想法；我坐在公共⻢⻋座位上，此时不可能有时间证实，⽽是继续进⾏已经开始的 谈话，但是我感到它是完全确定的。返回卡昂，为了问⼼⽆愧起⻅，我抽空证实了这⼀ 结果。
然后，我把注意⼒转向⼀些算术问题的研究，表⾯看来没有取得许多成果，也没有想到 它们与我以前的研究有什么关联。我为我的失败⽽扫兴，于是前往海滨消磨⼏天时间， 想⼀些其他事情。⼀天早晨，当我正在悬崖旁散步时，⼀种想法浮现在我的⼼头，即不 定三元⼆次型的算术变换等价于⾮欧⼏何学的变换，它正好具有同样的简洁、突然和即 时确定的特征。 回到卡昂以后，我深思了这个结果，推导出⼀些结论。⼆次型的例⼦向我表明，存在着 富克斯群，这些群不同于与超⼏何级数对应的群；我看到，我可以把 6 富克斯级数理论 应⽤于这些群，从⽽存在着⼀些富克斯函数，它们不同于当时我知道的、从超⼏何级数 得到的函数。我⾃然⽽然地让我⾃⼰开始构造这⼀切函数。我向它们发起了系统的攻 击，⼀个接⼀个地攻克了所有的外围⼯事。有⼀处外围⼯事⽆论怎样进攻还是岿然不 动， 只有攻陷它才能占领整个阵地。但是，我的全部努⼒乍看起来只是使困难更清楚地 呈现在我的⾯前，事情实际上就是这样。所有这些⼯作完全是有意识的。 紧接着，我要去⽡莱⾥昂⼭服军役；这样，我便从事截然不同的职业。⼀天，我正沿⼤ 街⾏⾛，曾经阻碍我的困难的答案突然呈现在我的⾯前。我⽆法⽴即下功夫深⼊探讨 它，只是在服役结束后，我才再次着⼿处理这个问题。我已有全部要素，只需排列它们 和整理它们。就这样，我⼀举写出了我的最后的论⽂，丝毫没有感到什么困难。 我只限于举这⼀个例⼦；多举也⽆⽤。关于我的其他研究⼯作，我可以讲出类似的情 况，其他数学家在 《数学教学》杂志中所给出的观察意⻅只会确认它们。
起初，最为引⼈注⽬的是顿悟的显现，这是先前⻓期⽆意识⼯作的明显征兆。在数学发 明中，这种⽆意识⼯作的作⽤在我看来似乎是不可否认的，在其他不⼤明显的情况下， 也可以发现它的痕迹。当⼈们研究⼀个艰难的问题时，在第⼀次进攻中往往达不到良好 的效果。于是，⼈们或⻓或短地休息⼀下，坐下来重新⼯作。在起初半⼩时内，像以前 ⼀样，什么也找不到，然后⼀个决定性的想法冷不防地浮现在脑海。可以说，有意识的 ⼯作之所以⽐较富有成效，是因为它被打断了，休息使⼼智⽣⽓勃勃、精⼒饱满。但 是，很可能是这样：这种休息充满了⽆意识的⼯作，这种⼯作的结果此后向⼏何学家揭 ⽰出与我所举的例⼦恰好⼀样的东西；只是这种揭⽰不是在散步或旅⾏时发⽣，⽽是在 有意识的⼯作期间发⽣的，不过它与有意识的⼯作⽆关，⽽有意识的⼯作⾄多起了兴奋 剂的作⽤，犹如它是⼀种刺激物⼀样，它激发了在休息时已经达到的结果，但依然是⽆ 意识的，尽管它采取了有意识的形式。 关于这种⽆意识⼯作的条件，还可以评论如下：如果⼀⽅⾯有意识的⼯作期间在它之 前，另⼀⽅⾯有意识的⼯作期间⼜尾随其后，那么它就是可能的，⽽且肯定才是富有成 果的。这些突如其来的灵感（已经引⽤的例⼦充分证明了这⼀点）除⾮在⾃愿的努⼒若 ⼲天之后，否则就不会出现，尽管这些努⼒好像毫⽆成果，从中也没有得出什么好东 西，⽽且所采取的路线似乎是完全误⼊歧途的。可是，这些努⼒并不像⼈们设想的那样 ⼀点成效也没有；它们驱动着⽆意识的机器，没有它们，⽆意识的机器就不会运转，也 不会⽣产出任何东西。 在灵感之后，对于第⼆个时期的有意识的⼯作之需要，还⽐较容易理解。必须使灵感的 结果成形，从它们之中推导出直接的结论，排列它们，⽤语⾔表达出证明，⽽尤其必须 加以证实。我已经谈过伴随灵感的绝对确实性的感觉；在所举的案例中，这种感觉不是 骗⼦，⽽且通常它的确不会骗⼈。但是，不能认为这个准则没有例外；这种感觉有时显 得很逼真，也往往会欺骗我们，只有当我们企图进⾏证明时，我们才会发现这⼀点。当 我早晨或晚上躺在床上处于半睡眠状态时，常有⼀些念头浮想联翩，我特别注意这⼀事 实。
实际情况的确是这样；现在，对于这些念头强加于我们的思想加以评论。⽆意识的⾃ 我，或者如我们所说的阈下的⾃我，在数学创造中起着重要的作⽤；这可由我们所说的 情况中得出。但是，通常认为阈下的⾃我是纯粹⾃动的。现在，我们已看到，数学⼯作 并⾮仅仅是机械⼯作，它不能⽤机器完成，⽆论如何不能⽤机器圆满地完成。这不只是 应⽤法则的问题和按照某⼀固定的规律做出许多可能的组合的问题。这样得到的组合为 数极多，但都是⽆⽤的和拖累的。发明者的真正⼯作就在于在这些组合中进⾏选择，以 便消除⽆⽤的组合，或者更确切地讲，避免构造它们的⿇烦，⽽且必须指导这种选择的 法则应极其精巧、极其微妙。要精确地陈述它们⼏乎是不可能的；与其说它们可以被阐 述出来，倒不如说它们可以被感觉到。在这些条件下，如何设想能够机械地应⽤它们的 筛⼦呢？ 第⼀个假设现在呈现出来：阈下的⾃我绝不劣于有意识的⾃我；它不是纯粹⾃动的；它 能够识别；它机智、敏锐；它知道如何选择，如何凭直觉推测。我说什么呢？它⽐有意 识的⾃我更清楚地知道如何凭直觉推测，因为它在有意识的⾃我失败了的地⽅获得成 功。⼀句话，阈下的⾃我难道不⽐有意识的⾃我优越吗？你认识这个问题的充分重要性 吧。布特鲁（Bouttoux）在最近的讲演中表明，它如何出现在⼗分不同的场合中，对它 作肯定的回答会得出什么结论。（也可参⻅同⼀个作者所著的《科学与宗教》第 313 ⻚及 其以后各⻚） 这种肯定的回答是因我刚才给出的事实迫使我们做出的吗？就我⾃⼰来说，我承认我不 愿意接受它。那么，让我们重新审查⼀下那些事实，看看它们是否与另外的说明相容。 可以肯定，在⽆意识的⼯作延续了⼀段时间之后，以⼀种顿悟的形式呈现在我们⼼智中 的组合，⼀般说来是有⽤的、多产的组合，这似乎是初次印象的结果。由此是否可以得 出，在通过微妙的直觉推测这些组合也许是有⽤的时候，阈下的⾃我只不过是形成了这 些组合呢，或者更确切地讲，阈下的⾃我形成了许多缺乏兴趣的、依然是⽆意识的其他 组合呢？
按照第⼆种⽅式观察阈下的⾃我，所有的组合都是由于阈下的⾃我的⾃动作⽤⽽形成 的，不过只是有趣的组合才能闯⼊意识领域。这还是很神秘的。在我们⽆意识活动的⽆ 数产物中，只有⼀些被召唤通过阈限，其他的依旧在阈限之下，其原因何在呢？这种特 权是简单的偶然性给予的吗？显然不是；例如，在我们感官的所有刺激物中，只有最强 烈的才能引起我们的注意，除⾮由于其他原因把我们的注意⼒吸引到不甚强烈的刺激 物。 更⼀般地讲，有特权的⽆意识的现象，即容许变成有意识的现象，就是直接或间接 最深刻地影响我们情感的现象。 关于数学证明，它似乎只能使理智感兴趣，当我们看到它合乎时宜地乞灵于情感时，可 能会感到诧异。这也许是忘记了数学的美感、数和形的和谐感、⼏何学的雅致感。这是 ⼀切真正的数学家都知道的真实的审美感，它的确属于情感。 现在，被我们赋予美和雅致这⼀特征的、能在我们⾝上产⽣⼀种审美情感的数学实体是 什么呢？它们是这样的实体：它们的要素和谐地配置，以致⼼智能够毫不费⼒地包容它 们的整体，同时⼜能认清细节。这种和谐同时是我们审美需要的满⾜以及⽀持和指导⼼ 智的助⼿。与此同时，⼀个秩序井然的整体摆在我们的双⽬之下，促使我们预⻅数学定 律。现在，正如我们上⾯说过的，唯⼀值得吸引我们的注意⼒的、能够是有⽤的数学事 实，是可以教导我们数学定律的数学事实。于是，我们便达到下述结论：有⽤的组合恰 恰是最美的组合，我意指最能使这种特殊情感着迷的组合，所有的数学家都知道这种情 感，但是对它的亵渎却达到如此愚昧的地步，以致常常被诱导嗤笑它。 此外还发⽣了什么呢？在由阈下的⾃我盲⽬形成的⼤量组合中，⼏乎所有的都毫⽆兴 趣、毫⽆⽤处；可是正因为如此，它们对审美感也没有什么影响。意识永远不会知道它 们；只有某些组合是和谐的，从⽽同时也是有⽤的和美的。它们将能够触动我刚才所说 的⼏何学家的这种特殊情感，这种情感⼀旦被唤起，便会把我们的注意⼒引向它们，从 ⽽为它们提供变成有意识的机会。
这只是⼀个假设，可是在这⾥有可以确认它的观察材料：当⼀个顿悟抓住数学家的⼼智 时，它碰巧往往不会欺骗他，但是正如我说过的，它有时碰巧也经受不住证实的检验； 好了，我们⼏乎总是注意到，这种⼈为的观念倘若是真实的，它就会使我们对于数学雅 致的⾃然情感得到满⾜。 因此，正是这种特殊的审美感，起着我已经说过的微妙的筛选作⽤，这充分地说明，缺 乏这种审美感的⼈为什么永远不会成为真正的创造者。 可是，困难并没有完全消失。有意识的⾃我严格地受到限制，⾄于阈下的⾃我，我们不 知道它的限制，这就是为什么我们不太勉强地假定，它在短时间内能够做出的各种组合 ⽐有意识的⾃我整个⼀⽣能够完成的组合还要多。可是，这种限制是存在的。阈下的⾃ 我能够形成所有可能的组合，其数⽬之多会吓坏想像⼒，这可信吗？不管怎样，这似乎 是必要的，因为假使它仅仅产⽣⼀⼩部分这些组合，假使它随意地构造它们，那么我们 在它们中能够选择的、可以发现的有效的组合的机遇就会很少。 有意识的⼯作总是在所有富有成果的⽆意识的劳动之前，也许我们应当在有意识的⼯作 的初期寻求说明。 请允许我粗略地做⼀⽐较。把我们组合中的未来要素想像为伊壁鸠鲁 （Epicurus）的带钩原⼦吧。在⼼智完全休眠时，这些原⼦是不动的，也可以说，它们 钩住了墙壁；因此，这种完全的休息可以⽆限地延续下去，没有相遇的原⼦，从⽽在它 们之间也没有任何组合。 另⼀⽅⾯，在表⾯的休息和⽆意识的⼯作期间，它们中的某些原⼦脱离墙壁并开始运 动。它们通过圈住它们的空间（我正要说房间）向各个⽅向发出，犹如⼀群蚊⾍，或者 你如果喜欢学术上的⽐喻的话，它们就像⽓体运动论中的⽓体分⼦。于是，它们的相互 碰撞可以产⽣新的组合。
初期的有意识的⼯作有何作⽤呢？显⽽易⻅，它使这些原⼦中的某⼀些可以运动，它把 它们从墙壁上卸下来并使它们⾃由活动。我们认为，我们之所以⽆效，是因为要把这些 要素汇集起来，就要使它们以⽆数不同的⽅式运动，是因为我们未找到满意的集合。但 是，在通过我们的意志强使这些原⼦松散并重新组合之后，它们就不会返回到它们的初 始状态。它们⾃由地继续它们的舞动。 好了，我们的意志并⾮随意地选择它们；它追求⼀个完全确定的⽬的。因此，使之可动 的原⼦并⾮⽆论什么样的原⼦；它们是我们可以合理地期望从中得到所要求的答案的原 ⼦。于是，使之可动的原⼦经受碰撞，从⽽使它们进⼊它们之间的组合，或者它们与在 它们的进程中撞击到的其他静⽌的原⼦形成组合。我再次请求原谅，我的⽐喻是很粗糙 的，但是我不知道如何⽤其他⽅法使我的思想得以理解。 不管情况可能如何，有形成机遇的组合仅仅是这样⼀些组合，即其中的要素⾄少有⼀个 是由我们的意志⾃由地选择出的那些原⼦之⼀。现在，很明显，在这些组合中，可以找 到我所谓的有效的组合。也许这是⼀种减少原来假设中的悖论的途径。 还有另外的观察意⻅。我们在那⾥仅应⽤固定的法则，全部做出了有点冗⻓的运算，⽽ ⽆意识的⼯作永远也不会碰巧为我们提供这个结果。我们可能以为，完全⾃动的阈下的 ⾃我特别适合这类⼯作，这在某种意义上是完全机械的。也许我们夜晚思考乘法因⼦， 我们醒来时必定希望找到预先做出的乘积，或者还希望代数运算 ―例如证实―可以⽆意 识地被做出来。正如观察所证明的，根本没有这种事。从这些灵感中，从⽆意识的⼯作 的成果中，⼈们可望得到的⼀切只是这样的运算的出发点。⾄于运算本⾝，必须在紧随 灵感之后的有意识的⼯作的第⼆个期间完成它们，⼈们在此期间证实这⼀灵感的结果， 推出它们的结论。这些运算的法则是严格的和复杂的。它们要求纪律、注意⼒、意志， 因⽽要求意识。相反地，在阈下的⾃我中，则是由我所说的⾃由统治着，倘若我⽤⾃由 这个名称称呼单纯缺乏纪律和源于机遇的⽆序的话。不过，这种⽆序本⾝𨚫容许未曾料 到的组合。
我将做最后的评论：当我在上⾯发表某些个⼈的观察材料时，我谈到我不由⾃主地⼯作 时的令⼈激动的夜晚。这样的情况是经常发⽣的，不过⼤脑的反常活动不必要由我曾提 到的物质刺激物引起。在这样的案例中， ⼈们在他⾃⼰的⽆意识的⼯作中呈现出的东西 似乎可以部分地被过分激动的意识所领悟，可是这并不改变⽆意识的⼯作的本性。于 是，我们不甚明确地理解了两种机制如果你愿意的话，也可以说是两种⾃我的⼯作 ⽅法的区别是什么。⽽且，在我看来，我从中能够做出的⼼理学观察似乎在它们的总轮 廓上确认了我提出的观点。 的确，这些观点需要确认，因为不管怎样，它们是⽽且依然是真正的假设：对这些问题 的兴趣如此之⼤， 以致我不后悔向读者提出了上述观点。